分母が階乗になっている分数数列の和
部分分数分解を真っ先に疑いましょう…。でも？
問題
解答
\[\sum ^{n}_{k=1}\dfrac {k-1}{k!}\]
とりあえず、k=1からひたすら代入して何かわからないか考える。
…でも上手くいかない。
そうか！これは部分分数分解か！
そう思ってトライしても…分母が階乗じゃどうしようもない！
「先生～、これどうやったら解けるんですかあ？」
質問が多い問題の一つです。できればすぐに説明を聞かずに、一晩じっくり向き合って頭をフル回転で考えて欲しい良問。
＊＊＊
部分分数分解を疑うのはとてもセンスがいいです。
でも確かに普通に考えても分母はどんどん因数が増えてしまうわけなので難しそうですね。
ちょっとこういう変形をしたらどうでしょう？
\[\sum ^{n}_{k=1}\dfrac {k-1}{k!}=\sum ^{n}_{k=1}\left ( \frac{k}{k!}-\frac{1}{k!} \right )=\sum ^{n}_{k=2}\left ( \frac{1}{k-1!}-\frac{1}{k!} \right )\]
ここでｋ＝1のときが０なので、除外してスタートをｋ＝２にするのがポイント。記述でうっかりｋ＝１のままにすると、分母が０！になってしまうので気を付けてください。
ここまで来ると、部分分数分解のときのように綺麗に中が消えていって気持ちがいい！ですね。
というわけで、計算すると
\[=\frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}...\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!} =1-\frac{1}{n!}\]
となります。
いかがでしょうか？
難しそうに見えますが、でもちょっとした工夫であっという間に解けてしまう問題でした。
余談ですが、「部分分数分解」って、早口言葉みたいで言いにくいですよね。
（私はいつも「ぶぶんぶんぶん…」と、バイク音のようになってしまいます。 M.K）