2次方程式の解問題
一見「解と係数の関係」のようですが…
問題
考え方
「解と係数の関係」から、α＋β＝－１、αβ＝１を使って導くという手もあります。
が！
ここでは一瞬で出来る必殺技を伝授。
数学の出題者はこういう仕掛けが大好きなんです。ぜひ皆さんも使ってみてください。
解答
＜普通の考え方＞
解と係数の関係から、α＋β＝－１、αβ＝１であることがわかります。
\[\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2})\]
に代入して導くことができます。
＜必殺技＞
αとβが１の立方根、 だということに気づけば一瞬で解くことができます。
\[\begin{aligned}x^{3}=1\\ x^{3}-1=0\\ \left( x-1\right) \left( x^{2}+x+1\right) =0\\ x=1,\omega ,\omega ^{2}\end{aligned}\]
つまり問題の解α＝ω、β＝ω＾2となるので、α＾3＝1、β＾3＝1となりますから
\[\alpha ^{3}+\beta ^{3}=1+1=2\]
これを少しひねって、指数が３の倍数になっても同じ解答になります。
\[\alpha ^{6}+\beta ^{6}=1+1=2\]
指数が3ならなんとか解の公式を使っても導けますが、6や９というように大きな3の倍数になるとちょっと気が遠くなるような計算量ですね。
いかがでしょうか？
実はこの問題とにかく頻出。素直な高校生を悩ませるようです。
気づけば一瞬、気づかなければ…5分？10分？ここで大きな差がつくので是非とも身に着けてくださいね。