※それぞれの公式をクリックすると、各公式の使用例が表示されます。
1. 三角比の定義（直角三角形）
・sinθ = 対辺 / 斜辺
・cosθ = 隣辺 / 斜辺
・tanθ = 対辺 / 隣辺
・cosθ = 隣辺 / 斜辺
・tanθ = 対辺 / 隣辺
例題：
直角三角形ABCにおいて、斜辺が10、隣辺が6のとき、三角比を求めよ。
対辺：√(10² − 6²) = √64 = 8
・sinθ = 8/10 = 0.8
・cosθ = 6/10 = 0.6
・tanθ = 8/6 = 4/3
直角三角形ABCにおいて、斜辺が10、隣辺が6のとき、三角比を求めよ。
対辺：√(10² − 6²) = √64 = 8
・sinθ = 8/10 = 0.8
・cosθ = 6/10 = 0.6
・tanθ = 8/6 = 4/3
2. 三角比の相互関係
・tanθ = sinθ / cosθ
・sin²θ + cos²θ = 1
・1 + tan²θ = 1 / cos²θ
・sin²θ + cos²θ = 1
・1 + tan²θ = 1 / cos²θ
例題：
cosθ = 5/13 のとき、sinθ と tanθ を求めよ。
sin²θ = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169 ⇒ sinθ = 12/13
tanθ = 12/5
cosθ = 5/13 のとき、sinθ と tanθ を求めよ。
sin²θ = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169 ⇒ sinθ = 12/13
tanθ = 12/5
3. 加法定理（加法・減法公式）
・sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
・cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
・cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
例題：
sin 75° = sin(45° + 30°) を計算せよ。
sin 75° = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
sin 75° = sin(45° + 30°) を計算せよ。
sin 75° = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
4. 2倍角の公式
・sin 2θ = 2sinθ cosθ
・cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
・cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
例題：
sinθ = 5/13、cosθ = 12/13 のとき、sin2θ を求めよ。
sin2θ = 2 × 5/13 × 12/13 = 120/169
sinθ = 5/13、cosθ = 12/13 のとき、sin2θ を求めよ。
sin2θ = 2 × 5/13 × 12/13 = 120/169
5. 半角の公式
・sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
・cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
・cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
なぜそうなるのか（導出の考え方）
2倍角の公式：
cos 2θ = 1 − 2sin²θ を変形すると：
sin²θ = (1 − cos 2θ)/2
同様に、
cos 2θ = 2cos²θ − 1 ⇒ cos²θ = (1 + cos 2θ)/2
cos 2θ = 1 − 2sin²θ を変形すると：
sin²θ = (1 − cos 2θ)/2
同様に、
cos 2θ = 2cos²θ − 1 ⇒ cos²θ = (1 + cos 2θ)/2
例題：
θ = 30° のとき、sin 15° の値を求めよ（※電卓を使わずに）。
sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4
⇒ sin 15° = √((2 − √3)/4) = √(2 − √3)/2
θ = 30° のとき、sin 15° の値を求めよ（※電卓を使わずに）。
sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4
⇒ sin 15° = √((2 − √3)/4) = √(2 − √3)/2
6. 正弦定理
・a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R（Rは外接円の半径）
例題：
三角形ABCにおいて、∠A = 30°、∠B = 60°、a = 10。辺bの長さを求めよ。
a / sinA = b / sinB より
10 / (1/2) = b / (√3/2) ⇒ b = 10√3
三角形ABCにおいて、∠A = 30°、∠B = 60°、a = 10。辺bの長さを求めよ。
a / sinA = b / sinB より
10 / (1/2) = b / (√3/2) ⇒ b = 10√3
7. 余弦定理
・a² = b² + c² − 2bc cosA
例題：
三角形ABCにおいて、b = 5、c = 7、∠A = 60°。辺aの長さを求めよ。
a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39
⇒ a = √39
三角形ABCにおいて、b = 5、c = 7、∠A = 60°。辺aの長さを求めよ。
a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39
⇒ a = √39
8. 三角形の面積公式
・面積 = (1/2) ab sinC
なぜそうなるのか（導出の考え方）
三角形ABCにおいて、辺 a, b を底辺と高さに分けて考える。
高さ h = b sinC、底辺 = a
⇒ 面積 = (1/2) × a × h = (1/2) ab sinC
高さ h = b sinC、底辺 = a
⇒ 面積 = (1/2) × a × h = (1/2) ab sinC
例題：
三角形ABCにおいて、AB = 6、AC = 5、∠A = 60° のとき、面積を求めよ。
面積 = (1/2) × 6 × 5 × sin 60° = 15√3 / 2
三角形ABCにおいて、AB = 6、AC = 5、∠A = 60° のとき、面積を求めよ。
面積 = (1/2) × 6 × 5 × sin 60° = 15√3 / 2
定期テストで出やすい問題3選
✅ 問題①：余弦定理を使った辺の長さの計算
問題：※クリックすると解説が表示されます。
三角形ABCにおいて、AB=5, AC=7, ∠BAC = 120°のとき、辺BCの長さを求めよ。
三角形ABCにおいて、AB=5, AC=7, ∠BAC = 120°のとき、辺BCの長さを求めよ。
解説：
余弦定理より
BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos ∠BAC
= 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos120°
cos120° = −1/2 より、
BC² = 25 + 49 + 35 = 109
∴ BC = √109
余弦定理より
BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos ∠BAC
= 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos120°
cos120° = −1/2 より、
BC² = 25 + 49 + 35 = 109
∴ BC = √109
✅ 問題②：加法定理を使った角度の計算
問題：※クリックすると解説が表示されます。
sinx = 3/5, cosy = 12/13、ただし x, y はともに鋭角とする。このとき sin(x + y) の値を求めよ。
sinx = 3/5, cosy = 12/13、ただし x, y はともに鋭角とする。このとき sin(x + y) の値を求めよ。
解説：
まず cosx = 4/5, siny = 5/13（三平方で補完）
加法定理より
sin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y
= (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13)
= (36 + 20)/65 = 56/65
まず cosx = 4/5, siny = 5/13（三平方で補完）
加法定理より
sin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y
= (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13)
= (36 + 20)/65 = 56/65
✅ 問題③：三角形の面積と正弦定理の融合問題
問題：※クリックすると解説が表示されます。
三角形ABCにおいて、辺a=6, b=8, ∠C = 60°のとき、
① 面積Sを求めよ
② sinA を求めよ
三角形ABCにおいて、辺a=6, b=8, ∠C = 60°のとき、
① 面積Sを求めよ
② sinA を求めよ
解説：
① 面積：S = (1/2)ab sinC = (1/2) × 6 × 8 × (√3/2) = 12√3
② 正弦定理を使う前に、余弦定理で辺cを求める。
c² = a² + b² − 2ab cosC = 36 + 64 − 96 = 4
∴ c = √4 = 2√13
正弦定理より
sinA = (a × sinC) / c = (6 × √3/2) / (2√13) = (3√3)/(2√13)
① 面積：S = (1/2)ab sinC = (1/2) × 6 × 8 × (√3/2) = 12√3
② 正弦定理を使う前に、余弦定理で辺cを求める。
c² = a² + b² − 2ab cosC = 36 + 64 − 96 = 4
∴ c = √4 = 2√13
正弦定理より
sinA = (a × sinC) / c = (6 × √3/2) / (2√13) = (3√3)/(2√13)
まとめ
三角関数は「暗記＋パターン練習」がとにかく大切。
とくに 加法定理・2倍角の公式・基本の三角比 は出題率が高いので、公式と使い方をセットで理解しておきましょう。
次の記事では「三角関数のグラフ」や「応用問題」も扱う予定です。
この記事を参考に、まずは基本の公式と典型問題の理解からはじめてください！
とくに 加法定理・2倍角の公式・基本の三角比 は出題率が高いので、公式と使い方をセットで理解しておきましょう。
次の記事では「三角関数のグラフ」や「応用問題」も扱う予定です。
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