問題
\[x^{2}+x+1=0\]の解をα,βとするとき\[\alpha ^{3}+\beta ^{3}\] の値を求めよ。
ベビクマ

因数分解して解がすぐに出せなさそうだから、解の公式を使えばいいのかあ?
でも面倒くさそう。

プリクマ先生

確かに面倒くさいですね。αとβを出せと言われているわけではないので
解を求めずにやる方法を考えましょう。

ベビクマ

解と係数の関係とか使えそう

「解と係数の関係」から、α+β=-1、αβ=1を使って導くという手もあります。 が!

ここでは一瞬で出来る必殺技を伝授。

数学の出題者はこういう仕掛けが大好きなんです。ぜひ皆さんも使ってみてください。

解と係数の関係を使う

プリクマ先生

じゃあ、まずは解と係数の関係を使ってみましょう

解と係数の関係から、α+β=-1、αβ=1であることがわかります。それを利用して

\[\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2})\] に代入して導くことができます。
ベビクマ

解を出さないでも解けるね。でもまだちょっと面倒。
必殺技を教えて欲しい。

プリくま先生

ヒント! 解の公式ですんなりと解けない問題は、立方根を疑うべし!

一瞬で出来る必殺技

<必殺技> αとβが1の立方根、 だということに気づけば一瞬で解くことができます。 \[\begin{aligned}x^{3}=1\\ x^{3}-1=0\\ \left( x-1\right) \left( x^{2}+x+1\right) =0\\ x=1,\omega ,\omega ^{2}\end{aligned}\] \[\alpha ^{3}+\beta ^{3}=1+1=2\]

指数が3ならなんとか解の公式を使っても導けますが、6や9というように大きな3の倍数になるとちょっと気が遠くなるような計算量ですね。

\[\alpha ^{6}+\beta ^{6}=1+1=2\]

いかがでしょうか?

これを少しひねって、指数が3の倍数になっても同じ解答になります。

実はこの問題とにかく頻出。素直な高校生を悩ませるようです。

気づけば一瞬、気づかなければ…5分?10分?ここで大きな差がつくので是非とも身に着けてくださいね。

プリクマ先生

3の倍数を使った問題は多いので、要チェック!

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